We discuss a framework for defining and detecting singularities of arbitrary fully nonlinear systems of ordinary or partial differential equations with polynomial nonlinearities. It combines concepts from differential topology with methods from differential algebra and provides for the first time a general definition of singularities of partial differential equations. This definition is then extended to the notion of a regularity decomposition of a differential equation at a given order and an algorithm is presented for the effective determination of such a decomposition (with an implementation in Maple). Finally, we show that our algorithm automatically extracts one regular differential equation from each prime component and thus provides an effective answer to an old problem in the geometric theory of differential equations.

Le système Panique-Contrôle-Réflexe (PCR) est un modèle mathématique établi en collaboration avec des géographes et des psychologues, afin d’étudier, prévoir et contrôler les réactions comportementales d’individus en situation de catastrophe naturelle ou industrielle. Ce modèle se décline sous la forme d’un système d’équations aux dérivées partielles de type parabolique. Nous considérons des réseaux complexes construits à partir d’instances non identiques du système PCR, et montrons quelles conditions de topologie du réseau sont favorables à une extinction du comportement de panique. Puis, nous proposons un problème de contrôle optimal afin d’atteindre asymptotiquement l’état d’extinction de panique dans le cas où les conditions de topologie ne sont pas favorables. Résumé